Question

设函数φ（x）=3^x（x∈R）．
（1）若y=kx（k＞0）与函数y=φ（x）的图象交于A，B两点，过点B作x轴的平行线交函数y=φ（3x）的图象于点C，若AC平行于y轴，求点A的纵坐标；
（2）令p（x）=

φ(x)

φ(x)+ 3

，q（x）=

3

φ(2x)+3

，求证：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2013

2014

）．
（3）若f（x）=

φ(x+1)+a

φ(x)+b

为R的奇函数．
  （i）求函数f（x）的表达式；
  （ii）若对任意的x∈R，都有f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件设出A，B，C的坐标，建立条件关系即可求点A的纵坐标；
（2）根据函数表达式证明p（x）+p（1-x）=1，q（x）+q（1-x）=1，即可证明等式成立．
（3）根据函数是奇函数，求出a，b的值，判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，即可得到结论．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=kx₁，y₂=kx₂，y₁=3x1，y₂=3x2，
∵BC∥x轴，∴C点的纵坐标为y₂，
∵AC∥y轴，∴C点的横坐标为x₁，即C（x₁，y₂），
∵C在y=φ（3x）=3^3x，
∴y2=33x1=3x2，即3x₁=x₂，y2=y13
则k=

y2-y1

x2-x1

=

y13-y1

3x1-x1

=

(y12-1)y1

2x1

=

y12-1

2

•k，
即

y12-1

2

=1，即y12=3，解得y₁=

3

．
（2）令p（x）=

φ(x)

φ(x)+ 3

=

3x

3x+ 3

，
q（x）=

3

φ(2x)+3

=

3

32x+3

，
则p（1-x）=

31-x

31-x+ 3

=

3

3+ 3 •3x

=

3

3 +3x

，则p（x）+p（1-x）=

3x

3x+ 3

+

3

3 +3x

=1，
q（1-x）=

3

32(1-x)+3

=

32x

3+32x

，
则q（x）+q（1-x）=

3

32x+3

+

32x

3+32x

=1，
则p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=1007，q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2013

2014

）=1007．
则p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2013

2014

）成立．
（3）f（x）=

φ(x+1)+a

φ(x)+b

=

3x+1+a

3x+b

为R的奇函数．
则f（0）=

3+a

1+b

=0，解得a=-3．
即f（x）=

3x+1-3

3x+b

，
且f（1）+f（-1）=0，即

9-3

3+b

+

1-3

1 3 +b

=0，解得b=1，即f（x）=

3x+1-3

3x+b

=

3x+1-3

3x+1

．
∵f（x）=

3x+1-3

3x+1

=

3(3x+1)-6

3x+1

=3-

6

3x+1

．
∴u=3^x+1单调递增，且u＞1，此时y=3-

6

u

为增函数，
∴f（x）=3-

6

3x+1

是R上的增函数，
不等式f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，
等价为f（φ（2x）-1）＞-f（2-kφ（x））=f（kφ（x）-2），
即3^2x＞k3^x-1，
即k＜

32x+1

3x

=3x+

1

3x

，
∵3^x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，当且仅当x=0时，取等号，
∴k＜2．

点评：本题主要考查函数方程，函数奇偶性，函数单调性之间的应用，综合性较强，运算量较强，难度非常大．