Question

【题目】设 ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=

由题设f′（1）=1，

∴ ，

∴a=0

（2）解： ，x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）

设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣ ﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）= ﹣m（3+ ）= ，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），当x∈（1， ），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．

③若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立

综上所述，m≥1

【解析】（1）求导，由题意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；（2）由题意可知：4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）恒成立，构造辅助函数，求导，分类讨论即可求出m的取值范围