Question

13．已知函数f（x）=mlnx+$\frac{3}{2}$x²-4x．
（I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，求函数f（x）的极值；
（II）设g（x）=x³-4，若h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=0，解得m，代入f（x），求出函数的单调区间，进而求出函数的极值；
（Ⅱ）求出函数h（x）的导数，问题转化为m≤3x³-3x²+4x在（1，+∞）上恒成立，令φ（x）=3x³-3x²+4x，根据函数的单调性求出m的范围

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=mlnx+$\frac{3}{2}$x²-4x可得f′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4，
由题意知f'（1）=m+3-4=0，解得m=1，
所以f（x）=lnx+$\frac{3}{2}$x²-4x，f′（x）=$\frac{（3x-1）（x-1）}{x}$，（x＞0）．
当f'（x）＞0时，得0＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞1；
当f'（x）＜0时，得$\frac{1}{3}$＜x＜1．
所以f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），单调递减区间为（$\frac{1}{3}$，1），
所以f（x）的极大值为f（$\frac{1}{3}$）=ln$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{9}$-4×$\frac{1}{3}$=-$\frac{7}{6}$-ln3，
极小值为f（1）=0+$\frac{3}{2}$-4=-$\frac{5}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由h（x）=f（x）-g（x）=mlnx+$\frac{3}{2}$x2-4x-x3+4，
可得h′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4-3x²，
由h（x）在（1，+∞）上单调递减可得h′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4-3x²≤0在（1，+∞）上恒成立，
即m≤3x³-3x²+4x在（1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=3x³-3x²+4x，则φ'（x）=9x²-6x+4=（3x-1）²+3＞0，
所以φ（x）=3x³-3x²+4x在（1，+∞）上单调递增．
故φ（x）＞3-3+4=4，
所以m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]，…（8分）．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．