【题目】如图,某城市有一块半径为40的半圆形(以
为圆心,
为直径)绿化区域,现计划对其进行改建,在
的延长线上取点
,使
,在半圆上选定一点
,改建后的绿化区域由扇形区域
和三角形区域
组成,其面积为
,设
.
(1)写出关于
的函数关系式
,并指出
的取值范围;
(2)试问多大时,改建后的绿化区域面积
最大.
【答案】(1)S=1600sinx+800x,0<x<π.(2)
【解析】
试题分析:(1)由两部分组成,一是扇形区域
,由扇形面积公式得
=800x,二是三角形区域
,由三角形面积公式得
·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx.最后根据角的实际意义确定定义域(2)利用导数求函数最值:先求导数,再求导函数在定义区间上的零点,最后列表分析极值点,确定最值点
试题解析:(1)因为扇形 AOC的半径为 40 m,∠AOC=x rad,
所以 扇形AOC的面积S扇形AOC==800x,0<x<π.
在△COD中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x,
所以△COD 的面积S△COD=·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx.
…………………… 4分
从而 S=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,0<x<π.
(2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π.
S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+).
由 S′(x)=0,解得x=.
从而当0<x<时,S′(x)>0;当
<x<π时, S′(x)<0 .
因此 S(x)在区间(0,)上单调递增;在区间(
,π)上单调递减.
所以 当x=,S(x)取得最大值.
答:当∠AOC为时,改建后的绿化区域面积S最大
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且曲线
的左焦点
在直线
上.
(1)若直线与曲线
交于
两点,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】如图(a),在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=8,AD=CD=4,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(b)所示.
(1)求证:BC⊥平面ACD;
(2)求几何体D-ABC的体积.
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【题目】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察其向上的点数,分别记为.
(1)若记“”为事件
,求事件
发生的概率;
(2)若记“”为事件
,求事件
发生的概率.
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【题目】已知正方形的边长为1,弧
是以点
为圆心的圆弧.
(1)在正方形内任取一点,求事件“
”的概率;
(2)用大豆将正方形均匀铺满,经清点,发现大豆一共28粒,其中有22粒落在圆中阴影部分内,请据此估计圆周率的近似值(精确到
).
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【题目】某货轮匀速行驶在相距海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为
),其他费用为每小时
元,且该货轮的最大航行速度为
海里/小时.
(1)请将从甲地到乙地的运输成本(元)表示为航行速度
(海里/小时)的函数;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
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【题目】甲、乙两人玩数字游戏,先由甲任想一个数字记为,再由乙猜甲刚才想的数字把乙想的数字记为
,且
,
,记
.
(1)求的概率;
(2)若,则称“甲乙心有灵犀”,求“甲乙心有灵犀”的概率.
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