Question

6．已知点P（x，y）在圆C：x²+（y-1）²=1上运动，则 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 $\frac{y-1}{x-2}$表示圆C：x²+（y-1）²=1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率，设过点A的圆的切线斜率为k，用点斜式求得圆的切线方程，由圆心（0，1）到切线的距离等于半径求得k的值，可得 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范围．

解答 解：由题意可得，则 $\frac{y-1}{x-2}$表示圆C：x²+（y-1）²=1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率，
设过点A的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y-1=k（x-2），即 kx-y-2k+1=0，
由圆心（0，1）到切线的距离等于半径可得$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
故答案为[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．