Question

14．（1）a，b，c∈R⁺，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{1}{{\sqrt{ab}}}+\frac{1}{{\sqrt{bc}}}+\frac{1}{{\sqrt{ac}}}$
（2）若x，y∈R．求证：sinx+siny≤1+sinxsiny．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{bc}}，\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{ac}}$，能证明$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{1}{{\sqrt{ab}}}+\frac{1}{{\sqrt{bc}}}+\frac{1}{{\sqrt{ac}}}$．
（2）推导出sinx+siny-（1+sinxsiny）=（1-siny）（sinx-1），由此能证明sinx+siny≤1+sinxsiny．

解答 证明：（1）∵a，b，c∈R⁺，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{bc}}，\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{ac}}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{1}{{\sqrt{ab}}}+\frac{1}{{\sqrt{bc}}}+\frac{1}{{\sqrt{ac}}}$．
（2）∵sinx+siny-（1+sinxsiny）
=sinx+siny-1-sinxsiny
=sinx（1-siny）-（1-siny）
=（1-siny）（sinx-1），
-1≤sinx≤1，-1≤siny≤1，
∴1-siny≥0，sinx-1≤0，
∴（1-siny）（sinx-1）≤0
即sinx+siny≤1+sinxsiny．

点评 本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理、三角函数性质的合理运用．