Question

【题目】已知函数．

（1）当， 时，讨论函数在区间上零点的个数；

（2）当时，如果函数恰有两个不同的极值点， ，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）研究函数的零点个数，本题直接研究函数的性质，不太方便，可以进行转化，函数的零点就是方程的解，即的解，而此方程解的个数可以转化为直线与函数的图象交点个数，而函数是一个确定的函数，不含参数，因此求出导数后得出它的单调性与最值后可得结论；（2）这类证明题，首先要建立极值点与参数的关系，为此求得，则是的两根（由有两个不同的实根，首先可得出），这样应有， ．两式相减参数与的关系就出现了： ，要证的题设不等式就变为要证， （两边除以可得），即证，

即证，于是只要设， ．即证不等式，当时恒成立．这可由利用导数的知识证明．

试题解析：（1）当， 时，函数在区间上的零点的个数即方程根的个数．

由，

令，

则在上单调递减，这时；

在上单调递增，这时．

所以是的极小值即最小值，即

所以函数在区间上零点的个数，讨论如下：

当时，有个零点；

当时，有个零点；

当时，有个零点．

（2）由已知， ，

， 是函数的两个不同极值点（不妨设），

（若时， ，即是上的增函数，与已知矛盾），

且， ．

， ．

两式相减得： ，

于是要证明，即证明，两边同除以，即

证，即证，

即证，

令， ．即证不等式，当时恒成立．

设，

．

设， ，当， ，

单调递减，所以，即， ，

在时是减函数． 在处取得极小值．

，得证． ．