Question

12．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的4名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据概率的求解，样本容量，运用直方图得出y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
（2）确定人数X的可能取值为2，3，4，利用概率公式，结合组合公式分别求解P（X=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{5}^{3}C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{7}$，P（X=4）=$\frac{{{C}_{5}^{4}C}_{2}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{7}$．
列出分布列求解数学期望即可．

解答 解：（1）由题意可知，样本容量n=$\frac{8}{0，016×10}$=50，y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90.100]内的学生有2人，共7人．抽取的4名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为2，3，4，则
P（X=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{5}^{3}C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{7}$，P（X=4）=$\frac{{{C}_{5}^{4}C}_{2}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{7}$．
所以X的分布列为

	2	3	4
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{1}{7}$

所以EX=2×$\frac{2}{7}$$+3×\frac{4}{7}$$+4×\frac{1}{7}$=$\frac{20}{7}$

点评 本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望，仔细阅读题意，准确计算，考虑学生解决实际问题的能力，属于中档题．