Question

三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是（　　）

• A、直角三角形
• B、钝角三角形
• C、锐角三角形
• D、等边三角形

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：借助于三角形的余弦定理判定底面三角形的形状．

解答： 解：设三条侧棱的长度分别为a，b，c，
∵三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，
∴底面的三条边的平方分别为a²+b²，a²+c²，b²+c²，
∴a²+b²+a²+c²-（b²+c²）=2a²＞0，a²+b²+b²+c²-a²-c²=2b²＞0，b²+c²+a²+c²-b²-a²=2c²＞0，
根据余弦定理可知，底面的三个内角都是锐角，所以底面一定是锐角三角形；
故选C．

点评：本题考查了三棱锥的性质以及利用余弦定理判定三角形的形状．