Question

8．若m是方程4${\;}^{x+\frac{1}{2}}$-9•2^x+4=0的根，则圆锥曲线x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出方程的两个根，得到曲线的方程，然后求解离心率即可．

解答 解：∵m是方程4${\;}^{x+\frac{1}{2}}$-9•2^x+4=0的根，∴（2^x-4）（2•2^x-1）=0，
解之得x=2或x=-1，即m=2或m=-1．．
当m=2时，曲线x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，即x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，表示焦点在y轴上的椭圆，
∵a₁²=2且b₁²=1，∴a₁=$\sqrt{2}$，c₁=$\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}$=1，椭圆的离心率e₁=$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当m=-1时，曲线x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，即x²-y²=1，表示焦点在x轴上的双曲线，
同理可得a₂=1，b₂=1，c²=$\sqrt{{{a}_{2}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{2}$，双曲线的离心率e₂=$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$=$\sqrt{2}$．
综上所述，圆锥曲线x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率是：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆锥曲线的方程的求法，离心率的求法，考查计算能力．