Question

5．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且有PB=PD，PA⊥BD．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠DAB=∠PDB=60°，AD=2，PA=3，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，由PB=PD，得PO⊥BD，再由已知PA⊥BD，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面ABCD；
（2）由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，可得BD⊥AC，则AB=AD，得到四边形ABCD为菱形，然后求解三角形可得△POA的面积，再由等积法求得四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）证明：如图，
设AC∩BD=O，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点，
又PB=PD，∴PO⊥BD，
又PA⊥BD，PA∩PO=P，
∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，
∴BD⊥AC，又O为BD的中点，
∴AB=AD，则四边形ABCD为菱形，
∵∠BAD=60°，∴△BAD为正三角形，
又AD=2，∴AO=$\sqrt{3}$，OD=1，
在Rt△POD中，由∠PDO=60°，OD=1，可得PD=2，PO=$\sqrt{3}$，
在△POA中，∵AO=PO=$\sqrt{3}$，PA=3，可得PA边上的高为$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${S}_{△PAO}=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
则${S}_{△PAC}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴${V}_{P-ABCD}=2{V}_{D-PAC}=2×\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×1$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．