Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-3S_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，由已知条件a_n=2-3S_n得到a_n-1=2-3S_n-1，将这两个式子相减，再结合数列{a_n}的前n项和S_n的定义易得数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通项公式不难推出：b_n=log₂a_n=1-2n，所以利用裂项相消法来求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，∵a_n=2-3S_n…①
∴a_n-1=2-3S_n-1…②
①-②得：a_n-a_n-1=-3（S_n-S_n-1）=-3a_n
∴4a_n=a_n-1；即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{4}$，
又a₁=2-3S₁=2-3a₁；得：a₁=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列
∴a_n=$\frac{1}{2}$×（ $\frac{1}{4}$）^n-1=2^1-2n（n∈N^*），即a_n=2^1-2n（n∈N^*），
（Ⅱ）∵a_n=2^1-2n（n∈N^*），b_n=log₂a_n，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^1-2n=1-2n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（1-2n）（1-2n-2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．