Question

4．已知函数f（x）=cos²x+asinx+2a-1，a∈R．
（1）当a=1时，求函数的最值并求出对应的x值；
（2）如果对于区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意一个x，都有f（x）≤5恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，化简f（x）只有一个函数名，转化思想求解其最值可出对应的x值；
（2）讨论f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上最大值≤5，即可得f（x）≤5恒成立．可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵a=1，
∴$f（x）={cos^2}x+sinx+1=-{sin^2}x+sinx+2=-{（sinx-\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$
当$sinx=\frac{1}{2}$，即$x=2kπ+\frac{π}{6}$或$x=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z时，$f{（x）_{max}}=\frac{9}{4}$；
当sinx=-1，即$x=2kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z时，f（x）_min=0．
（2）由f（x）=cos²x+asinx+2a-1=-sin²x+asinx+2a
令sinx=t∈[-1，1]，则函数f（x）转化为g（t）=-t²+at+2a，
则：当$\frac{a}{2}≤-1$，即a≤-2时，g（t）在[-1，1]上单调递减，∴f（x）_max=g（-1）=-1+a≤5，
即a≤6，于是a≤-2，
当$-1＜\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜2时，$f{（x）_{max}}=g（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}+2a≤5$，即a²+8a-20≤0，
∴-10≤a≤2，于是-2＜a＜2，
当$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2时，g（t）在[-1，1]上单调递增，
∴f（x）_max=g（1）=-1+3a≤5，即a≤2，
综上，a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．