Question

9．极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4（cosθ+sinθ）．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数）与曲线C交于A，B两点，定点E（0，1），求|EA|•|EB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得${t^2}-（\sqrt{3}+2）t-3=0$，由此利用韦达定理能求出|EA|•|EB|．

解答 解：（Ⅰ）在ρ=4（cosθ+sinθ）中，
两边同乘以ρ，得ρ²=4（ρcosθ+ρsinθ），
则C的直角坐标方程为x²+y²=4x+4y，
即（x-2）²+（y-2）²=8．…（5分）
（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得${t^2}-（\sqrt{3}+2）t-3=0$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=\sqrt{3}+2}\\{{t_1}{t_2}=-3}\end{array}}\right.$，
则|EA|•|EB|=|t₁t₂|=3…（10分）

点评 本题考查圆、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、两线段乘积、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．