Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过C上一点$（{2\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$的切线l的方程为x+2y-4$\sqrt{2}$=0．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设过点M（0，1）且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得$\overrightarrow{PM}=λ（\frac{{\overrightarrow{PA}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|}}+\frac{{\overrightarrow{PB}}}{{|{\overrightarrow{PB}}|}}）$？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{x+2y-4\sqrt{2}=0}\end{array}}\right.$，得$（4{b^2}+{a^2}）{y^2}-16\sqrt{2}{b^2}y+32{b^2}-{a^2}{b^2}=0$，由椭圆C与直线l相切，点（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在椭圆C上，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线的方程为y=kx+1（k≠0），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx-12=0．由此利用根判别式、韦达定理、角平分线性质，结合已知推导出存在点P（0，4）使得$\overrightarrow{PM}=λ（\frac{{\overrightarrow{PA}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|}}+\frac{{\overrightarrow{PB}}}{{|{\overrightarrow{PB}}|}}）$．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{x+2y-4\sqrt{2}=0}\end{array}}\right.$，消去x并整理得$（4{b^2}+{a^2}）{y^2}-16\sqrt{2}{b^2}y+32{b^2}-{a^2}{b^2}=0$，
∵椭圆C与直线l相切，
∴$△=（16\sqrt{2}{b}^{2}）^{2}-4（4{b}^{2}+{a}^{2}）（32{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}）=0$，
化简得4b²+a²-32=0，①，
又点（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在椭圆C上，∴$\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}$=1，②，
由①②得a²=1，b²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）y轴上存在点P，使得$\overrightarrow{PM}=λ（\frac{{\overrightarrow{PA}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|}}+\frac{{\overrightarrow{PB}}}{{|{\overrightarrow{PB}}|}}）$．
理由如下：
设直线的方程为y=kx+1（k≠0），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$消去y并整理得（4k²+1）x²+8kx-12=0．
△=（8k）²+4（4k²+1）×12=256k²+48＞0．
设$A（{{x_1}，{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}），则{x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=-\frac{12}{{4{k^2}+1}}$．
假设存在点P（0，t）满足条件，
由于$\overrightarrow{PM}=λ（{\frac{{\overrightarrow{PA}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|}}+\frac{{\overrightarrow{PB}}}{{|{\overrightarrow{PB}}|}}}）$，
∴PM平分∠APB．
由题意知直线PA与直线PB的倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0，
即$\frac{{{y_1}-t}}{x_1}+\frac{{{y_2}-t}}{x_2}=0，即{x_2}（{y_1}-t）+{x_1}（{y_2}-t）=0$（*），
y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
代入（*）并整理得2kx₁x₂+（1-t）（x₁+x₂）=0，
∴$-2k•\frac{12}{{4{k^2}+1}}+\frac{（1-t）（-8k）}{{4{k^2}+1}}=0$，
整理得3k+k（1-t）=0，即k（4-t）=0，
∴当t=4时，无论k取何值均成立．
∴存在点P（0，4）使得$\overrightarrow{PM}=λ（\frac{{\overrightarrow{PA}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|}}+\frac{{\overrightarrow{PB}}}{{|{\overrightarrow{PB}}|}}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．