Question

14．甲乙丙丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f_i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为${f_1}（x）={2^x}-1，{f_2}（x）={x^3}，{f_3}（x）=x，{f_4}（x）={log_2}（x+1）$，
有以下结论：
①当x＞1时，甲在最前面；
②当x＞1时，乙在最前面；
③当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能最最后面；
⑤如果它们已知运动下去，最终在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为③④⑤（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）

Answer 1

分析 分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面运动的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．

解答 解：路程f_i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：
${f_1}（x）={2^x}-1，{f_2}（x）={x^3}，{f_3}（x）=x，{f_4}（x）={log_2}（x+1）$，
它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型；
①当x=2时，f₁（2）=3，f₂（2）=8，∴该结论不正确；
②∵指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，∴x＞1时，甲总会超过乙的，∴该结论不正确；
③根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，∴该结论正确；
④结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴该结论正确；
⑤指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面运动的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴该结论正确．
∴正确结论的序号为：③④⑤．
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．