Question

【题目】设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．

(1)求椭圆的方程和“相关圆”的方程；

(2)过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点．为坐标原点，若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为；（2）或.

【解析】

（1）由已知条件计算出椭圆的方程和“相关圆”的方程

（2）直线与椭圆相交，联立方程组，由求出之间关系，然后再表示出点到线的距离公式，即可求出结果

解：（1）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以，又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，

故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为

（2）设，

联立方程组得，

，

即

，

由条件得,

所以原点到直线的距离是，

由得为定值

又圆心到直线的距离为，直线与圆有公共点，满足条件

由，即，∴即

又，即，所以，即或

综上，或