Question

14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-π，-$\frac{π}{6}$]时，求y=f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得y=f（x）的取值范围．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象，
可得A=1，$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=1．
再根据五点法作图可得1×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{3}$，∴函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
因此函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）当x∈[-π，-$\frac{π}{6}$]时，x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故当x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-1；
当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$，即f（x）的范围为[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．