Question

9．己知函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其中a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围；
（2）若f（x）有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，求证：$①f（\frac{a^2}{4}）＜0；②{x_1}+{x_2}+{x_3}$＞3
（参考数值：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据二次函数的性质求出a的范围即可；
（2）①求出f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）的解析式，求出函数的导数，根据a的范围结合函数的单调性判断即可；②根据f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（1）=0，设出3个零点，从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）的定义域是（0，+∞），
∴ax²-2x+a=0有2个不相等的正根，显然a≠0，
由x₁x₂=1＞0，得：$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜1；
（2）①f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，
f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
由f（x）有3个极值点，
得ax²-2x+a=0有2个不相等的实数根，
由（1）得：0＜a＜1，
令h（a）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，a∈（0，1），
h′（a）=$\frac{{3a}^{4}+16（1-a）}{{a}^{2}}$，
显然h′（a）＞0，故h（a）在（0，1）递增，
故h（a）＜h（1）=4ln2-$\frac{15}{4}$＜0，
故f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）＜0，
②∵f（$\frac{1}{x}$）=a（$\frac{1}{x}$-x）-2ln$\frac{1}{x}$=-f（x），
又f（1）=0，得：f（x）的3个零点依次可表达为t，1，$\frac{1}{t}$，t∈（0，1），
故x₁+x₂+x₃=t+1+$\frac{1}{t}$＞2+1=3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．