Question

18．已知命题p：函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-9lnx$在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{5-m}=1$表示的焦点在y轴上的椭圆．
（1）当p为真命题时，求m的取值范围；
（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当p为真命题时，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范围；
（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-9lnx$
∴$f′（x）=x-\frac{9}{x}$，
当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当p为真命题时，$\left\{\begin{array}{l}m≥0\\ m+1≤3\end{array}\right.$，
解得：0≤m≤2…（6分）
（2）若q为真命题，则：
5-m＞m-1＞0，
解得：1＜m＜3…（10分）
若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}0≤m≤2\\ m≤1，或m≥3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m＜0，或m＞2\\ 1＜m＜3\end{array}\right.$
解得：0≤m≤1或2＜m＜3…（14分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，利用导数研究函数的单调性，椭圆的方程等知识点，难度中档．