Question

1．已知AC，BD为圆x²+y²=16的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，2），则四边形ABCD面积的最大值为
27．

Answer 1

分析 设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，由此表示出|AC|、|BD|，利用基本不等式求出四边形ABCD面积的最大值．

解答 解：∵圆O：x²+y²=16，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=4，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
∵M（1，2），
则d₁²+d₂²=OM²=1²+2²=5，
∴|AC|=2$\sqrt{16-{{d}_{1}}^{2}}$，|BD|=2$\sqrt{16-{{d}_{2}}^{2}}$，
∴四边形ABCD的面积为
S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{16-{{d}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{16-{{d}_{2}}^{2}}$≤（16-d₁²）+（16-d₂²）=32-5=27，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
∴四边形ABCD面积的最大值为27．
故答案为：27．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了对角线互相垂直的四边形面积的求法以及基本不等式的应用问题，是中档题目．