Question

已知函数f（x）=ax3-

3

2

ax2，函数g（x）=3（x-1）²．
（1）当a＞0时，求f（x）和g（x）的公共单调区间；
（2）当a＞2时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（3）讨论方程f（x）=g（x）的解的个数．

Answer 1

分析：（1）分别求导函数，令导数大于0，可得单调递增区间；令导数小于0，可得单调递减区间；
（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），可求h（x）的极小值为h（1）=-

a

2

，
（3）只需考察h（x）=f（x）-g（x）的图象与x轴交点个数即可．需求出h（x）极值，利用极值的正负情况，根据图象解得．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1），a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0），和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．而函数g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．所以两个函数的公共单调递增区间是（1，+∞），公共单调递减区间是（0，1）．
（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．
h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），
令h′（x）=0，得x=

2

a

，或x=1，由于

2

a

＜1，
易知x=1为h（x）的极小值点，
所以h（x）的极小值为h（1）=-

a

2

，
（3）由（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），
①若a=0，则h（x）=-3（x-1）²．h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
②若a＜0，则h（x）的极大值为h（1）=-

a

2

，h（x）的极小值为h（

2

a

）=-

4

a2

+

6

a

-3＜0，h（x）的图象与x轴有三个交点，即方程f（x）=g（x）有三个解．
③若0＜a＜2，则h（x）的极大值为h（1）=-

a

2

＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
④若a=2，则h′（x）=6（x-1）²≥0，h（x）单调递增，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
⑤若a＞2，则由（2）知，h（x）的极大值为h（

2

a

）=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
综上所述，当a≥0，方程f（x）=g（x）只有一个解．若a＜0，方程f（x）=g（x）有三个解．

点评：本题考查函数单调性与极值，数形结合的思想方法，考察计算、分类讨论等方法和能力．