【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设的极小值为
,当
时,求证:
.
【答案】(Ⅰ)的单调递增区间为
和
,无单调递减区间;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)对求导可得
,设
,对
求导,判断
的符号,进而可得
的单调性;(Ⅱ)对
进行求导,可得
的极小值
,对
求导,易证
,在将
等价转化为
,令
,对其求导求其最值即可.
(Ⅰ)因为(
且
),所以
.
设,则
.
当时,
,
是增函数,
,所以
.
故在
上为增函数;
当时,
,
是减函数,
,所以
,所以
在
上为增函数.
故的单调递增区间为
和
,无单调递减区间.
(Ⅱ)由已知可得,则
.令
,得
,
.
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数,
所以的极小值
.
由,得
.
当时,
,
为增函数;
当时,
,
为减函数.
所以.
而
.
下证:时,
.
.
令,则
.
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数.
所以,即
.
所以,即
.所以
.
综上所述,要证的不等式成立.
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【题目】有4张牌(如图)每张牌的一面都写上一个英文字母,另一面都写上一个数字.规定:当牌的一面为字母时,它的另一面必须写数字2.你的任务是:为了检验下面的4张牌是否有违反规定的写法,你翻看哪几张牌就够了.你的选择是( ).
A. B.
、
C. 、
D. 非以上答案
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【题目】已知函数(
,
),且
的解集为
;数列
的前
项和为
,对任意
,满足
.
(1)求的值及数列
的通项公式;
(2)已知数列的前
项和为
,满足
,
,求数列
的前
项和
;
(3)已知数列满足
,若
对
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设点.若直
与曲线
相交于两点
,求
的值.
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