【题目】已知是一个长方体,从点
到直线
、
、
的垂线分别交直线
、
、
于点
、
、
,垂足分别为
、
、
.求证:
(1)、
、
三点共线;
(2)、
、
三条直线交于一点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
建立如图的空间直角坐标系.设,
,
,则长方体的顶点坐标为
、
、
、
,
、
、
、
.
(1)依题意,设,则
,
.
因为,则
,
.故
.
设,则
,
,
,
.
由
故.
设,则
,
.
因为,则
,
.故
.
所以,.这表明
、
、
三点共线.
(2)设.
由、
、
三点共线,得
.
又、
、
三点共线,得
.
故
.
所以,.又
与
有相同的起点,因此,
、
、
共线,即
.这表明,
、
、
三线交于一点.
解法2:如图,设,
,
.
(1)由射影定理有,.由割线定理有,
.
故,
.同理,
,
.
在中,由余弦定理,有
.
.
从而,.
同理,在中,有
.
故,
.
另一方面,在中,由勾股定理,有
.
所以,,
、
、
三点共线.
(2)由射影定理,有,
.
又由(1)有.故
.
由塞瓦定理,、
、
三线共点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知四个函数,其中
,
的图像如图所示.
(1)请在坐标系中画出,
的图像,并根据这四个函数的图像总结出指数函数具有哪些性质?
(2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,
,平面
平面
,点
为棱
的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点
,使得
平面
,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为
时,求直线
与平面
所成的角.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,设,
分别是正方体
的棱
上两点,且
,
,其中正确的命题为( )
A.三棱锥的体积为定值
B.异面直线与
所成的角为
C.平面
D.直线与平面
所成的角为
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【题目】已知圆的方程为
,直线l的方程为
,点P在直线l上,过点P作圆
的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若,求点P的坐标;
(2)求证:经过A,P,三点的圆必经过异于
的某个定点,并求该定点的坐标.
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