Question

1．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=1，BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．

（I）求证：CD⊥BE；
（II）求点B到平面CDE的距离；
（III）求直线AF与平面EFCD所成的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BH⊥CD，结合CD⊥DE，推出CD⊥平面DBE，然后证明CD⊥BE．
（2）法一：设BH=h，EH=k，过F作FG垂直ED于G，利用勾股定理，求出线段BH长度为2，即点B的平面CDE的距离为2．
法二：延长BA交EF于点M，因为AE：BF=MA：MB=1：3；点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的$\frac{1}{3}$，过点E作ER∥DC，过点E作ES⊥平面EFCD，分别以ER、ED、ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点B（0，y，z）（y＞0，z＞0），然后求解线段BH的长度为2．即点B到平面CDE的距离为2．
（3）求出平面EFCD的一个法向量，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ，利用向量的数量积求解即可．

解答 解：（1）由于BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，又由于CD⊥DE，BH∩DE=H，∴CD⊥平面DBE，∴CD⊥BE．
（2）法一：设BH=h，EH=k，过F作FG垂直ED于G，
因线段BF，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：$\left\{\begin{array}{l}B{E^2}=B{H^2}+E{H^2}\\ B{F^2}=B{H^2}+F{H^2}=B{H^2}+F{G^2}+G{H^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}5={h^2}+{k^2}\\ 9={2^2}+{h^2}+{（{2-k}）^2}\end{array}\right.$，可解得$\left\{\begin{array}{l}h=2\\ k=1\end{array}\right.$，∴线段BH长度为2，即点B的平面CDE的距离为2．
（2）法二：延长BA交EF于点M，因为AE：BF=MA：MB=1：3
点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的$\frac{1}{3}$，∴点A平面EFCD的距离为$\frac{2}{3}$，而$AF=\sqrt{13}$，
直线AF与平面EFCD新角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{13}}}{39}$．

如图，过点E作ER∥DC，过点E作ES⊥平面EFCD，分别以ER、ED、ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点B（0，y，z）（y＞0，z＞0），由于$F（{2，2，0}），BE=\sqrt{5}，BF=3$，∴$\left\{\begin{array}{l}{y^2}+{z^2}=5\\ 4+{（{y-2}）^2}+{z^2}=9\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ z=2\end{array}\right.$于是B（0，1，2），所以线段BH的长度为2．
即点B到平面CDE的距离为2．
（3）从而$\overrightarrow{FB}$=（-1，1，2），故$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FB}$=（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EA}$=（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{7}{3}$，$\frac{2}{3}$），
设平面EFCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），设直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{13}}{39}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．