Question

13．在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC=2$\sqrt{7}$，由正弦定理，求出sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，从而cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，设AD=BD=x，由余弦定理得：cosB=$\frac{1}{x}$，由此能求出AD的值．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，
∴由余弦定理得BC=$\sqrt{16+4-2×2×4×120°}$=2$\sqrt{7}$，
由正弦定理，得：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$=$\frac{4•sin120°}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴cosB=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∵AD=BD，∴设AD=BD=x，
由余弦定理得：cosB=$\frac{4+{x}^{2}-{x}^{2}}{2×2×x}$=$\frac{1}{x}$，
∴AD=x=$\frac{1}{cosB}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．