Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理推导出$\sqrt{3}cosBsinC=sinBsinC$，从而$tanB=\sqrt{3}$，由此能求出角B．
（Ⅱ）由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$，得$a=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinA$，$c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinC$，由此利用正弦函数加法定理能求出a+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$，
∴$\sqrt{3}sinA=sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）$$\sqrt{3}sin（B+C）=sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）$，
∴$\sqrt{3}cosBsinC=sinBsinC$，
∵sinC＞0．
∴$\sqrt{3}cosB=sinB$，即$tanB=\sqrt{3}$…（4分）
而B∈（0，π），则$B=\frac{π}{3}$．            …（6分）
（Ⅱ） 由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$得$a=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinA$，$c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinC$
∴$a+c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}（sinA+sinC）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}[sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）]$=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}（\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA）=4sin（A+\frac{π}{6}）$…（9分）
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$
∴a+c∈（2，4]…（12分）

点评 本题考查三角形的角的求法，考查两边边长和的取值范围的求法，涉及到正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、正弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．