Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（1）求cos（C+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，且sin²A+sin²B=$\frac{13}{16}$sin²C．求c的值．

Answer 1

分析 （1）推导出cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$=-$\frac{1}{4}$，从而sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由此利用余弦函数加法定理能求出cos（C+$\frac{π}{6}$）．
（2）由△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，求出ab=6，由正弦定理得${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{13}{16}{c}^{2}$，由此利用余弦定理能求出c．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$=1-2×（$\frac{\sqrt{10}}{4}$）²=1-$\frac{5}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
sinC=$\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（C+$\frac{π}{6}$）=cosCcos$\frac{π}{6}$-sinCsin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$．
（2）∵△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ab×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，解得ab=6，
∵$si{n}^{2}A+si{n}^{2}B=\frac{13}{16}si{n}^{2}C$，即${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{13}{16}{c}^{2}$，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=$\frac{13}{16}{c}^{2}-2×6×（-\frac{1}{4}）$=$\frac{13}{16}{c}^{2}$+3，
解得c=4．

点评 本题考查三角函值和三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、余弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．