Question

6．已知函数f（x）=|x+1|-a|x-1|，若f（x）≤a|x+3|，则a的最小值$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 将意义及条件进行转化，可得a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，再结合|x-1|+|x+3|≥2|x+1|，即可求出a的取值范围，注意等号成立的条件

解答 解：若f（x）≤a|x+3|，则|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，
即|x+1|≤a（|x-1|+|x+3|），
即a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|，
∴$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{|x+1|}{2|x+1|}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当x≥1或x≤-3时取等号，
即a≥$\frac{1}{2}$，则a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$
即a的最小值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查绝对值不等式的应用，以及恒成立的问题，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题