Question

12．已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为k．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=k$，求b（a+c）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的单调性求出函数的最大值，即可求出k的值，
（2）根据基本不等式即可求出答案

解答 解：（1）由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，
当x≥-1时，f（x）_max=f（1）=1-3=-4，
当-1＜x＜1时，f（x）＜f（-1）=3-1=2，
当x≤-1时，f（x）_max=f（-1）=-1+3=2，
所以k=f（x）_max=f（-1）=2，
（2）由已知$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=2$，有（a²+b²）+（b²+c²）=4，
因为a²+b²≥2ab（当a=b取等号），b²+c²≥2bc（当b=c取等号），
所以（a²+b²）+（b²+c²）=4≥2（ab+bc），即ab+bc≤2，
故[b（a+c）]_max=2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题