Question

设向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，

3

sinx），x∈R，函数f（x）=

a

•（

a

+2

b

）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求使不等式f′（x）≥2成立的x的取值集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用导数的运算法则、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•（

a

+2

b

）=

a

2+2

a

•

b

=sin2x+cos2x+2(sin2x+

3

sinxcosx)
=1+1-cos2x+

3

sin2x
=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+2
=2sin(2x-

π

6

)+2．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（2）由f（x）=2sin(2x-

π

6

)+2，得f′(x)=4cos(2x-

π

6

)．
由f′（x）≥2，得cos(2x-

π

6

)≥

1

2

，
则2k-

π

3

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

3

，
即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴使不等式f′（x）≥2成立的x的取值集合为{x|kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}．

点评：本题考查了数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、导数的运算法则、余弦函数的单调性，属于中档题．