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定义,,.
(1)比较的大小;
(2)若,证明:
(3)设的图象为曲线,曲线处的切线斜率为,若,且存在实数,使得,求实数的取值范围.

(1);(2)详见解析;(3)实数的取值范围为.

解析试题分析:(1)根据定义求出,进而比较出的大小;(2)先利用定义求出的表达式,利用分析法将所要证明的不等式等价转化为,构造新函数,问题等价转化利用导数证明函数在区间上单调递减;(3)先利用定义求出函数的解析式,并求出相应的导数,从而得到的表达式,结合对数运算将问题等价转化为不等式有解,结合导数对函数的极值点是否在区间进行分类讨论,确定函数在区间的最值,利用最值进行分析,从而求出参数的取值范围.
试题解析:(1)由定义知
,∴.
(2)
要证,只要证

,则
时,,∴上单调递减.
 ∴,即
∴不等式成立.
(3)由题意知:,且
于是有 在上有解.
又由定义知 即
 ∴,∴,即
有解.

①当时,. 当且仅当时,
∴ 当时,  ∴
②当时,即时,上递减,
. ∴
整理得:,无解
综上所述,实数的取值范围为.
考点:1.新定义;2.利用分析法证明不等式;3.参数分离法;4.基本不等式

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50
 
y
 
27
 
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