定义,,.
(1)比较与的大小;
(2)若,证明:;
(3)设的图象为曲线,曲线在处的切线斜率为,若,且存在实数,使得,求实数的取值范围.
(1);(2)详见解析;(3)实数的取值范围为.
解析试题分析:(1)根据定义求出和,进而比较出和的大小;(2)先利用定义求出和的表达式,,利用分析法将所要证明的不等式等价转化为,构造新函数,问题等价转化利用导数证明函数在区间上单调递减;(3)先利用定义求出函数的解析式,并求出相应的导数,从而得到的表达式,结合对数运算将问题等价转化为不等式在有解,结合导数对函数的极值点是否在区间进行分类讨论,确定函数在区间的最值,利用最值进行分析,从而求出参数的取值范围.
试题解析:(1)由定义知
∴,∴.
(2)
要证,只要证
∵
令,则,
当时,,∴在上单调递减.
∵ ∴,即
∴不等式成立.
(3)由题意知:,且
于是有 在上有解.
又由定义知 即
∵ ∴,∴,即
∴在有解.
设
①当即时,≥. 当且仅当时,
∴ 当时, ∴
②当≤时,即≤时,在上递减,
∴. ∴
整理得:,无解
综上所述,实数的取值范围为.
考点:1.新定义;2.利用分析法证明不等式;3.参数分离法;4.基本不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某商场经营一批进价是30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售价元与日销售量件之间有如下关系:
x | 45 | 50 |
y | 27 | 12 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,h(x)=2alnx,.
(1)当a∈R时,讨论函数的单调性;
(2)是否存在实数a,对任意的,且,都有
恒成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在一条笔直的工艺流水线上有个工作台,将工艺流水线用如图所示的数轴表示,各工作台的坐标分别为,,,,每个工作台上有若干名工人.现要在流水线上建一个零件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.
(Ⅰ)若,每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置;
(Ⅱ)若,工作台从左到右的人数依次为,,,,,试确定供应站的位置,并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.
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为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系:(,为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
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一种放射性元素,最初的质量为,按每年衰减.
(1)求年后,这种放射性元素的质量与的函数关系式;
(2)求这种放射性元素的半衰期(质量变为原来的时所经历的时间).()
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如图所示,是一个矩形花坛,其中AB=4米,AD=3米.现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园,要求:B在上,D在上,对角线过C点,且矩形的面积小于64平方米.
(Ⅰ)设长为米,矩形的面积为平方米,试用解析式将表示成的函数,并写出该函数的定义域;
(Ⅱ)当的长度是多少时,矩形的面积最小?并求最小面积.
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