Question

4．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，则λ=2．

Answer 1

分析 由条件求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CP}$，根据题意可得存在m，n∈R使得$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{BP}$+n$\overrightarrow{CP}$，由此求得m、n、λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{0A}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$-λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$，
∵P，A，B，C四点共面，∴存在m，n∈R使得$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{BP}$+n$\overrightarrow{CP}$，
即  $\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$=m（2$\overrightarrow{OA}$-λ$\overrightarrow{OC}$）+n[2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+2n=1}\\{n=1}\\{-mλ+n（λ-1）=λ}\end{array}\right.$，
求得m=-$\frac{1}{2}$，n=1，λ=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的基本道理及线性运算，列出方程组是解题关键，属于中档题．