Question

1．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AP}$，则$\overrightarrow{PB}$=（　　）

• A． $\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$$-\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$
• B． -$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$
• C． -$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$
• D． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$$-\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$

Answer 1

分析 如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，设D为BC的中点，$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AP}$，可得$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AD}$=4$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AP}$，即点P为AD的中点．再利用向量三角形法则与平行四边形法则即可得出．

解答 解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，设D为BC的中点，
∵$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AP}$，
∴$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AD}$=4$\overrightarrow{AP}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AP}$，即点P为AD的中点．
则$\overrightarrow{PB}$=-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}）$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{4}$×$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量三角形法则与平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．