Question

已知函数f（x）=

x2

2

-kx，其中k为常数．
（1）当k=3时，求不等式f（x）＜x的解集；
（2）当k变化时，讨论关于x的不等式f（x）+

x

2

＜0的解集．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当k=3时，即 x（x-8）＜0，解此一元二次不等式求得它的解集．
（2）当k变化时，关于x的不等式即 x[x-（2k-1）]＜0，讨论2k-1和0的大小关系，解一元二次不等式求得它的解集．

解答： 解：（1）当k=3时，不等式即

x2

2

-3x＜x，即 x（x-8）＜0，解得0＜x＜8，
故不等式的解集为（0，8）．
（2）当k变化时，关于x的不等式即

x2

2

-kx+

x

2

＜0，即 x[x-（2k-1）]＜0．
当2k-1=0时，即k=

1

2

，不等式即 x²＜0，无解．
当2k-1＞0时，即k＞

1

2

，不等式的解集为 （0，2k-1）．
当2k-1＜0时，即k＜

1

2

，不等式的解集为 （2k-1，0）．
综上可得，k=

1

2

时，不等式无解；k＞

1

2

时，不等式的解集为（0，2k-1）；
k＜

1

2

，不等式的解集为（2k-1，0）．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．