Question

【题目】已知点，分别是椭圆 的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点 (都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由，利用平面向量数量积公式可得.

所以，由两边平方结合可得，求出 的值，从而可得结果；（2）直线的方程为，联立消去整理，得，根据韦达定理结合中点坐标公式，可得线段的中点坐标，利用斜率公式化简可得.

试题解析：（1）因为，

所以.

所以.

因为，

所以.

所以.

所以所求椭圆的方程为

（2）设直线的方程为（，为常数）.

①当时，直线的方程为，此时线段的中点为在轴上，所以线段的垂线的斜率为0，即；

②当时，联立消去整理，得.

设点，，线段的中点，则，

由韦达定理，得，，所以.

所以.

所以.

所以直线的斜率为.

所以线段的垂线的斜率为.故与之间的关系是

综上，与之间的关系是.