Question

已知函数图像上一点处的切线方程为，其中为常数.
（Ⅰ）函数是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用表示）；
（Ⅱ）若不是函数的极值点，求证：函数的图像关于点对称.

Answer 1

（Ⅰ）当时，，函数在区间上单调增增，不存在单调减区间；                                
当时，函数存在单调减区间，为        
当时，函数存在单调减区间，为         
（Ⅱ）证明见解析

（Ⅰ），，    ……………1分
由题意，知，，
即                                   ……………………2分
              …………………3分
①  当时，，函数在区间上单调增加，
不存在单调减区间；                                      ……………………5分
②  当时，，有

	+	-	+

当时，函数存在单调减区间，为        ……………7分
③  当时，，有

	+	-	+

当时，函数存在单调减区间，为          …………9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若不是函数的极值点，则，
           …………………10分
设点是函数的图像上任意一点，则，
点关于点的对称点为，

（或    ）
点在函数的图像上.
由点的任意性知函数的图像关于点对称.         …………………14分