Question

19．如果实数x，y满足条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-y+2≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}}\right.$，且（x+a）²+y²的最小值为6，a＞0，则a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 做出可行域，则可行域内的点到P（-a，0）的最短距离的平方为6，利用可行域判断出最优解的位置，代入距离公式计算即可．

解答 解：做出可行域如图所示：

则O到可行域的最短距离的平方为（$\frac{4}{\sqrt{1+4}}$）²=$\frac{16}{5}$，
∵a＞0，∴P（-a，0）在x轴负半轴上，
∴可行域内的A点到P（-a，0）的距离最短．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$得A（0，2），
∴a²+4=6，解得a=$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，做出可行域寻找最优解的位置是关键，属于中档题．