Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5（\frac{1}{2}）^{2x}，-1≤x＜1}\\{1+\frac{4}{{x}^{2}}，x≥1}\end{array}\right.$设m＞n≥-1，且f（m）=f（n），则m•f（$\sqrt{2}$m）的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．

解答 解：做出f（x）的函数图象如图所示：

∵f（m）=f（n），m＞n≥-1，
∴1≤m＜4，
∴mf（$\sqrt{2}$m）=m（1+$\frac{2}{{m}^{2}}$）=m+$\frac{2}{m}$≥2$\sqrt{2}$．
当且仅当m=$\sqrt{2}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的图象，基本不等式的应用，属于中档题．