Question

9．在四棱锥P-ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E-BCD的体积最大时，求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥AC，PA⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC，然后推出PC⊥BD．
（2）设PA=x，三棱锥E-BCD的底面积为定值，求得它的高$h=\frac{x}{{{x^2}+2}}$，求出三棱锥E-BCD的体积的最大值，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，求出平面EBD的一个法向量，平面BCD的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，
由此推出PA⊥BD，
又AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，所以推出PC⊥BD．
（2）设PA=x，三棱锥E-BCD的底面积为定值，求得它的高$h=\frac{x}{{{x^2}+2}}$，
当$x=\frac{2}{x}$，即$x=\sqrt{2}$时，h最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，三棱锥E-BCD的体积达到最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{24}$．
以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则$B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，\sqrt{2}）$，令E（x，y，z），$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow{PC}$，得$λ=\frac{3}{4}$，∴$E（\frac{3}{4}，\frac{3}{4}，-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，
设$\overrightarrow n=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$是平面EBD的一个法向量，$\overrightarrow{BD}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-\frac{1}{4}，\frac{3}{4}，-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，得$\overrightarrow n=（1，1，\sqrt{2}）$．
又$\overrightarrow{AP}=（0，0，\sqrt{2}）$是平面BCD的一个法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AP}＞=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴二面角E-BD-C为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．