Question

7．已知f（x）=|2x-3|+|2x+3|，若f（x）的最小值是n，则二项式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中x⁴的系数是-6．

Answer 1

分析 由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x⁴项的系数．

解答 解：f（x）=|2x-3|+|2x+3|的最小值是n，f（x）=|2x-3|+|2x+3|≥|（2x-3）-（2x+3）|=6，
∴n=6，二项式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ =（x-$\frac{1}{x}$）⁶展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^6-2r，
令6-2r=4，求得 r=1，可得二项式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中x⁴项的系数为-6，
故答案为：-6．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．