Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=2x没有实数根，那么f（f（x））=4x的实根根数个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：由题意可得f（x）-2x 恒大于0或恒小于0，利用换元可得f（f（x））-2f（x）也是恒大于0或者恒小于0，且正负号与f（x）-2x相同，从而得到f（f（x））-4x=0没有实数根．

解答：解：∵函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=2x没有实数根，
∴f（x）-2x 恒大于0或恒小于0，
用f（x）代换上式中的x可得 f（f（x））-2f（x）也是恒大于0或者恒小于0，且正负号与f（x）-2x相同．
两者之和也有此性质．
所以f（f（x））-2f（x）=0 没有实数根，
即f（f（x））=2f（x）没有实数根，亦即f（f（x））=4x 没有实数根．
故选：A．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，利用换元由f（x）-2x 恒大于0或恒小于0，得到f（f（x））-2f（x）也是恒大于0或者恒小于0，是解题的难点．