Question

16．已知函数f（x）=1-$\frac{a}{x}$+ln$\frac{1}{x}$（a为实数）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（2）已知n∈N^*，求证：ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可．
（2）当a=1时，求出函数的导数：f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，当x∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，利用函数的单调性求出最大值，推出ln$\frac{1}{x}$≤$\frac{1-x}{x}$，令x=$\frac{n}{n+1}$，推出ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，然后利用累加法推出结果．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=1-$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
则f′（$\frac{1}{2}$）=4-2=2，f（$\frac{1}{2}$）=1-2+ln2=ln2-1，
∴函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））的切线方程为：
y-（ln2-1）=2（x-$\frac{1}{2}$），
即2x-y+ln2-2=0；
（2）当a=1时，f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0，
即f（x）≤f（1）=0，
∴ln$\frac{1}{x}$≤$\frac{1-x}{x}$，
令x=$\frac{n}{n+1}$，则ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$，
即ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，
∴ln（n+1）=ln（n+1）-ln1
=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln2-ln1）
＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n-2}$+…+$\frac{1}{1}$，
故ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及数列与函数的关系，考查导数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．