Question

11．已知函数f（x）的导函数为f′（x）=ax（x+2）（x-a）（a＜0），若函数f（x）在x=-2处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜-2．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，判断函数是否有极小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：由f′（x）=ax（x+2）（x-a）=0（a＜0），解得x=-2或x=a，
若a=-2，则f′（x）=-2x（x+2）²≤0，
此时函数f（x）在x=-2处不取到极小值，故a≠-2．
若a＜-2，由f′（x）＞0得x＜a或-2＜x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得a＜x＜-2或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=-2处取到极小值，满足条件．
若-2＜a＜0，由f′（x）＞0得x＜-2或a＜x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-2＜x＜a或x＞0此时函数单调递减，
即函数在x=-2处取到极大值，不满足条件，
综上：a＜-2，
故答案为：a＜-2．

点评 本题主要考查导数和极值的关系，利用导数确定函数的单调性是解决本题的关键．