Question

已知函数f（x）=

2x

4x+1

，x∈（-1，1）
（Ⅰ）若x∈（0，1）试判断此时函数f（x）的单调性并利用定义证明；
（Ⅱ）若设g（x）=f（x）+f（-x），求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）首先，得到f（x）为（-1，1）上的减函数，然后，结合单调性的定义进行证明；
（Ⅱ）首先，落实函数g（x）的表达式，然后，结合基本不等式求解其值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）为（-1，1）上的减函数，证明如下：
任意设x₁，x₂∈（-1，1）x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(1+2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为（-1，1）上的减函数．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+f（-x），
∴g（x）=

2x

4x+1

+

2x

4x+1

，
=2

2x

4x+1

，
=

2

2x+ 1 2x

，
∵2x+

1

2x

≥2，
∴0＜f（x）≤1，
∴值域为（0，1]．

点评：本题重点考查了指数函数的单调性和基本性质、函数的单调性的定义的证明过程等知识，属于中档题．