Question

【题目】如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．

（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；

（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】

（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线,因为圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等,列出底面半径和关系式,即可证明:圆锥的母线与底面所成的角为.

（2）因为圆锥的侧面积为,即可求得其母线长.由⑴可知,可得.在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向,设抛物线方程,代入即可求得,进而抛物线焦点到准线的距离.

（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线

圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等

可得

由题意可知:底面圆

中 故:

圆锥的母线与底面所成的角为

（2） 圆锥的侧面积为

可得,故:

可得

中, 为的中点,可得

在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向.如图:

设抛物线方程

代入可得

根据抛物线性质可知, 抛物线焦点到准线的距离为.

抛物线焦点到准线的距离．