Question

在各项均为正数的等差数列{a_n}中，对任意的n∈N^*都有a₁＋a₂＋…＋a_n＝a_na_n＋1.

(1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)设数列{b_n}满足b₁＝1，b_n＋1－b_n＝2a_n，求证：对任意的n∈N^*都有b_nb_n＋2<b.

Answer 1

解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d.

令n＝1，得a₁＝a₁a₂.由a₁>0，得a₂＝2.

令n＝2，得a₁＋a₂＝a₂a₃，

即a₁＋2＝a₁＋2d，得d＝1.

从而a₁＝a₂－d＝1.故a_n＝1＋(n－1)·1＝n.

(2)证明：因为a_n＝n，所以b_n＋1－b_n＝2ⁿ，

所以b_n＝(b_n－b_n－1)＋(b_n－1－b_n－2)＋…＋(b₂－b₁)＋b₁

＝2^n－1＋2^n－2＋…＋2＋1

＝2ⁿ－1.

又b_nb_n＋2－b＝(2ⁿ－1)(2^n＋2－1)－(2^n＋1－1)²＝－2ⁿ<0，

所以b_nb_n＋2<b.