Question

已知向量

m

=（cosx，-1），

n

=（sinx，-

3

2

），f（x）=（

m

-

n

）•

m

．．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）已知锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．其面积S=

3

，f(A-

π

8

)=-

2

4

，a=3，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据数量积积的定义，求出f（x）的表达式，即可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（cosx，-1），

n

=（sinx，-

3

2

），
∴

m

-

n

=（cosx-sinx，

1

2

），
∴f（x）=（

m

-

n

）•

m

=（cosx-sinx）cosx-

1

2

=cos?2x-sin?xcos?x-

1

2

=

1

2

cos?2x-

1

2

sin?2x=

2

2

cos?(2x+

π

4

)，
2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，
得kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z．
即函数的单调性递增区间为：[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]．
（Ⅱ）∵f(A-

π

8

)=

2

2

cos?(2A-

π

4

+

π

4

)=

2

2

cos?2A=-

2

4

，
∴cos?2A=-

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴0＜2A＜π，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
∵S=

3

=

1

2

bcsin?A=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4．
由余弦定理得a²=b²+²-2bccos?A，
∴9=b²+c²-bc，
∵（b+c）²=b²+c²+2bc=9+3bc=21，
∴b+c=

21

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出f（x）的表达式以及三角形的面积公式和余弦定理是解决本题的关键．