Question

17．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求二面角C₁-DE-C的正切值；
（Ⅲ）在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论．

Answer 1

分析 以点D为原点，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，求出相关点的坐标．（Ⅰ）求出平面C₁DE的一个法向量，$\overrightarrow{B{D_1}}=（-2，-2，3）$，通过数量积为0，推出BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求出平面ABCD的一个法向量，利用向量的数量积求解夹角的余弦函数值，然后求解二面角C₁-DE-C的正切值．
（Ⅲ）假设侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE，设P（2，2，t），利用$\overrightarrow{CP}$与$\overrightarrow n$共线，列出不等式组，求解即可．

解答 解：以点D为原点，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，则B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，3），D₁（1，2，0），∵DC⊥AD是棱△ABC的中点，
∴E（1，2，0），$\overrightarrow{D{C_1}}=（0，2，3），\overrightarrow{DE}=（1，2，0）$
（Ⅰ）设平面C₁DE的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{D{C_1}}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}2y+3z=0\\ x+2y=0\end{array}\right.⇒\overrightarrow n=（6，-3，2）$，
∵$\overrightarrow{B{D_1}}=（-2，-2，3）$，∴$\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=-2×6+2×3+3×2=0$，
∴$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DE}$，又DE?平面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{C{C_1}}=（0，0，3）$，
∴$cos＜\overrightarrow{C{C_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{C{C_1}}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{C{C_1}}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{2}{7}$，$sin＜\overrightarrow{C{C_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{3\sqrt{5}}}{7}$，$tan＜\overrightarrow{C{C_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，
∴二面角C₁-DE-C的正切值为$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$；
（Ⅲ）假设侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE，设P（2，2，t），则$\overrightarrow{CP}=（2，0，t）$，且$\overrightarrow{CP}$与$\overrightarrow n$共线，
∴存在实数λ使得$\overrightarrow{CP}=λ\overrightarrow n$，即$\left\{\begin{array}{l}2=6λ\\ 0=-3λ\\ t=2λ\end{array}\right.⇒$这样的λ不存在，
∴在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面镜的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．