Question

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C过点P（2，3）．且与椭圆

x2

6

+

y2

2

=1有共同焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点M（1，1）的直线与双曲线交于A、B两点，并以M为中点．有则求直线方程，无则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知条件得

c=2 4 a2 - 9 b2 =1 a2+b2=c2

，由此能求出双曲线方程．
（2）假设存在存在过点M（1，1）的直线与双曲线交于A、B两点，并以M为中点，利用点差法求出直线AB的方程为y=3x-2，代入双曲线方程x²-

y2

3

=1，得：6x²-12x+7=0，由△＜0，推导出不存在过点M（1，1）的直线与双曲线交于A、B两点，并以M为中点．

解答： 解：（1）∵双曲线C过点P（2，3）．
且与椭圆

x2

6

+

y2

2

=1有共同焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
且

c=2 4 a2 - 9 b2 =1 a2+b2=c2

，解得a²=1，b²=3，
∴双曲线方程为x²-

y2

3

=1．
（2）假设存在存在过点M（1，1）的直线与双曲线交于A、B两点，并以M为中点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线方程x²-

y2

3

=1．
得

3x12-y12=3 3x22-y22=3

，两式相减，得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，∴k=

y1-y2

x1-x2

=3，
∴直线AB的方程为：y-1=3（x-1），即y=3x-2，
把y=3x-2代入双曲线方程x²-

y2

3

=1，
得：6x²-12x+7=0，
∵△=144-4×6×7=-28＜0，
∴不存在过点M（1，1）的直线与双曲线交于A、B两点，并以M为中点．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．